원과 직선이 만나는 점 찾기

오늘은 원과 직선이 만나는 점을 찾는 방법에 대해서 이야기해보도록 하겠습니다. 우선 아래에서 설명하는 내용은 모두 2차원에서의 이야기입니다. 우선 원과 직선이 만나는 경우가 있고, 만나지 않는 경우가 있는데요. 그림으로 보면 아래와 같이 3가지 경우로 나눠집니다. 

가장 왼쪽의 경우는 만나는 점이 없는 경우, 가운데 있는 경우는 한점에서 만나는 경우, 오른쪽에 있는 경우는 2점에서 만나는 경우입니다. 각 경우에 대해서 이야기를 해보겠습니다. 

그전에 우리가 알고 있어야하는 것이 하나 있는데요. 바로 한점에서 직선까지 길이를 구하는 공식을 알아야합니다. 관련된 내용은 아래 포스팅을 통해 확인하실 수 있습니다.

https://tip1234.tistory.com/144

한점에서 직선까지 거리 구하는 공식

한점에서 직선까지 거리를 구하는 공식인

를 이용하여 원의 중심에서 직선까지의 거리를 구하여 원과 직선의 관계를 표현할 수 있습니다. 여기서 원의 방정식을 알아야하는데요. 중심이 P = (xp,  yp) 이고 반지름이 R인 원의 방정식은 아래와 같습니다.

그때 R과 d 의 관계를 가지고 3가지 경우를 나눌 수 있습니다.

1. 원과 직선이 만나지 않는 경우 (d > R)

이 경우는 원의 중심에서 직선까지의 거리인 d 가 원의 반지름인 R보다 큰 경우입니다. 

이 경우는 원과 직선이 만날 수 없기 때문에 만나는 점을 찾을 수 없습니다. 따라서 교점의 개수는 0개입니다. 

2. 원과 직선이 한점에서 만나는 경우 (d = R)

이 경우는 원의 중심에서 직선까지의 거리인 d와 원의 반지름인 R과 같은 경우입니다. 

이 경우는 원과 직선이 한점에서 만나고 만나는 점은 위에서 구한 한점에서 직선과 만나는 점을 찾는 공식으로 구한 점과 같은 점이기 때문에 교차점은 1개가 되고, 해당 점이 교점이 됩니다.

3. 원과 직선이 두점에서 만나는 경우 (d < R)

이 경우는 원의 중심에서 직선까지의 거리인 d가 원의 반지름인 R보다 작은 경우입니다.

이 경우는 원과 직선이 만나는 점이 2개가 됩니다. 이때 교차점은 2개가 생기고 이 교차점을 찾는데 여러가지 방법이 있습니다. 그 중에서 가장 쉬운 방법을 설명해드리도록 하겠습니다. 

해당 방법은 교차점을 기준으로 원과 만나는 점들의 거리를 구하고, 벡터를 이용해서 교차점을 구하는 방법인데요.

원의 중심에서 직선까지 거리를 구할때 찾은 점을 I 라고 하겠습니다.

그렇게 되면 위와 같은 공식이 만들어지고 이때 L를 구하게 되면 점 I 에서 직선의 벡터만큼 더하고 빼면 두개의 교차점을 쉽게 구할 수 있게 됩니다. 여기서 방정식을 이용하여 교차점을 구할 수 있지만, 그렇게 되면 연산이 늘어나기 때문에 벡터를 이용한 방법으로 구하는 것을 추천드립니다.